1 থেকে n স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল
Last updated
Last updated
১ থেকে যেকোনো একটি সংখ্যা N পর্যন্ত সকল সংখ্যার যোগফল কত ? উত্তর টি দেয়া খুব সহজ হলেও , এই প্রশ্নের মাধ্যমে গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ টপিক সমান্তর ধারার উৎপত্তি হয়েছে।
আমাদের যদি জিজ্ঞেস করা হয় ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত , আমরা খাতা কলম নিয়ে বসে যাবো তা যোগ করে করে বের করার জন্য , প্রথমে ১ এর সাথে ২ যোগ করবো , যার যোগফল হলো ৩ , এরপর ৩ এর সাথে ৩ যোগ করবো যোগফল পাবো ৬ , এভাবে করে ১+২+৩+৪+৫.......+ ৯৯+১০০ এভাবে করে হাতে যোগ করতে করতে একসময় আমরা উত্তর পেয়ে যাবো । এই কাজটি ১০০ এর জন্য করতে আমাদের প্রায় ৯৯-১০০ বার একটি সংখ্যার সাথে আরেকটি সংখ্যার যোগ করতে হবে । যা হয়তো ১০০ এর জন্য আমরা করতে পারবো । আচ্ছা , এরপর যদি আমাদের বলা হয় ১ থেকে ১০০০০০০ পর্যন্ত সকল সংখ্যার যোগফল বের করো ? এই কাজটি উপরে প্রদত্ত সিস্টেমে করতে গেলে আমাদের প্রায় ১ লক্ষ বার যোগ করতে হবে , এখন কাজটি খুবই কষ্টসাধ্য right ?
আসেন একটা সুন্দর গল্প শুনি , আজ থেকে প্রায় ৩০০ বছর আগের গল্প । একজন মহৎ গণিতবিদের গল্প ।
একদিন জার্মান এর একটি কিন্ডারগার্ডেন স্কুলে একজন গনিত শিক্ষক তার ক্লাসে ছাত্রদের ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত যোগ করার জন্য বলেন । যেহেতু তারা কিন্ডারগার্ডেন এর ছাত্র , তাই শিক্ষকের ধারনা ছিলো ছাত্ররা ১ ২ ৩ এভাবে করে যোগ করতে করতে ১০০ পর্যন্ত যোগ করতে মিনিমাম আধা ঘন্টা সময় তারা নিবেন এবং এই সময়টিতে তারা শান্ত থাকবেন । কিন্ত সেই ক্লাসে ছিলেন , গাউস নামক একজন অসাধারণ ছাত্র ( Prodigy ) । সে অন্যান্য স্টুডেন্ট এর মতো যোগ না করে এই সংখ্যা গুলোর মধ্যে সুন্দর একটি প্যাটার্ন খুজে পেলো। সে দেখতে পেলো , আমরা যদি প্রথম সংখ্যা ১ এর সাথে শেষ সংখ্যা ১০০ যোগ করি তবে যোগফল পাচ্ছি ১০১ , এর পর দ্বিতীয় সংখ্যা ২ এর সাথে শেষ দ্বিতীয় সংখ্যা ৯৯ যোগ করলে যোগফল পাচ্ছি ১০১ , এভাবে করে ৩+৯৮ =১০১ , ৪+৯৭ =১০১ । অর্থাৎ আমরা প্রত্যেকটি জোড়া তে ১০১ এর যোগফল পাচ্ছি । এভাবে করে যদি আমরা প্রতিটি জোড়া যোগ করি তবে প্রত্যেকটি জোড়ার যোগফল হবে ১০১। যেহেতু ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে ১০০ টি সংখ্যা তাই আমরা এখানে জোড়া পাবো মোট ১০০/২ = ৫০ টি। আর প্রতি জোড়ার যোগফল ১০১ । সুতারাং পুরো যোগফল আসে ৫০* ১০১ = ৫০৫০ । ব্যাস , পুরো ক্লাস অবাক হয়ে গেলো এবং সবাই গাউসের মেধা সম্পর্কে একটা ধারণা পেলো। পরবর্তীতে গণিতবীদ গাউস গণিতের অনেক শাখায় গুরুত্বপূর্ণ ভুমিকা রাখেন । বিস্তারিতঃ [wikipedia] আসুন এইবার উপরের সিস্টেম কে একটু generalize করার চেষ্টা করি , উপরে আমরা কয়টি জোড়া আছে তা বের করেছিলা 100/2 অর্থাৎ N/2 এর মাধ্যমে এরপর আমরা তার সাথে গুন করেছি প্রতিটি জোড়ার যোগফল তা হলো N+1
সুতারাং ১ থেকে N পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল হবে N/2 * (N+1) = (N*(N+1))/2
N এর মধ্যে ১ হাজার , ১০ হাজার , ১ লক্ষ যা সংখ্যা দেয় না কেনো ১ টি যোগ , ১ টি গুণ এবং একটি ভাগ অপারেশন করার মাধ্যমে ১ থেকে N যেকোনো নাম্বারের যোগফল আমরা খুব সহজে বের করে ফেলতে পারি।